Persamaan Gelombang Schrondinger

Pendahuluan

Telah dipelajari bahwa perangkat dari teori kuantum lama adalah :

·         Postulat Planck mengenai kuantisasi energi osilator harmonik elektron yang menjadi sumber radiasi termal pada benda hitam sempurna.

·         Teori Einstein mengenai efek fotolistrik yang mengandaikan bahwa cahaya terkuantisasi.

·         Perilaku partikel dari radiasi elektromagnetik yang menerangkan efek Compton (dualism cahaya).

·         Postulat de Broglie tentang perilaku partikel bergerak sebagai gelombang (dualism partikel).

·         Prinsip Heisenberg mengenai ketidakpastian harga besaran x dan p jika diukur serentak.

·         Teori Bohr mengenai atom hydrogen.

Namun demikian perangkat teori ini tidak dapat menerangkan beberapa gejala tingkat atom dan sub-atom lain. Contohnya adalah spektrum atom berelektron banyak, dan laju transisi electron dari satu tingkat energi ke tingkat energi lainnya dalam hidrogen dan atom-atom lain. Bohr tidak dapat menerangkan mengapa garis spektral tertentu berintensitas lebih tinggi dari pada yang lainnya, dan tidak dapat menerangkan bahwa sesungguhnya garis spektral terdiri dari garis-garis terpisah yang panjang galombangnya berbeda sedikit.

Selain itu perangkat ini tidak menyeluruh(komprehensif) sebagai wadah untuk menerangkan gejala-gejala yang bersumber pada proses-proses fisika di tingkat atom dan sub-atom. Pada tahun 1925 Erwin Schroedinger mengajukan suatu teori, Mekanika Kuantum, yang mana lebih menyeluruh tentang gejala yang bersumber pada proses atom dan sub-atom. Perbedaan pokok antara mekanika Newton (klasik) dengan mekanika kuantum terletak pada cara menggambarkannya. Dalam mekanika klasik, masa depan partikel telah ditentukan oleh kedudukan awal, momentum awal serta gaya-gaya yang beraksi padanya. Dalam dunia makroskopik kuantitas seperti ini dapat ditentukan dengan ketelitian yang cukup sehingga mendapatkan ramalan mekanika Newton yang cocok dengan pengamatan. Dalam mekanika kuantum ketentuan tentang karakteristik masa depan seperti mekanika Newton tidak mungkin diperoleh, karena kedudukan dan momentum suatu partikel tidak mungkin diperoleh dengan ketelitian yang cukup, sehingga dalam teori ini digunakan prinsip ketidakpastian dan probabilitas. Hal yang dapat membuat kita lebih paham akan keberadaan dari mekanika klasik dan kuantum adalah, kenyataan bahwa mekanika klasik merupakan versi aproksimasi dari mekanika kuantum.

Hal ini merupakan sesuatu yang mengejutkan dan luar biasa dari teori kuantum.

Fungsi dan Persamaan Gelombang

Kuantitas yang diperlukan dalam mekanika kuantum adalah fungsi gelombang dari benda itu (dinotasikan dengan  ).  itu sendiri sebenarnya tidak memiliki tafsiran fisis,  merupakan kuadrat besaran mutlak yang mana berbanding lurus dengan peluang (kebolehjadian) untuk mendapatkan partikel itu di tempat itu dan pada saat itu. Nilai dari momentum, momentum sudut dan energi dapat diperoleh dari  . Adapun ungkapan matematis dari  adalah ,

                                                                                                   (1)

dengan  * merupakan konjugate kompleks dari  apabila  merupakan fungsi kompleks. Berikut contohnya,

Fungsi gelombang diungkapkan oleh :  (x,t) = A(x,t) + iB(x,t)                        (2)

Konjugate kompleks dari fungsi tsb. :  (x,t) = A(x,t) + iB(x,t)                       (3)

Sehingga kuadarat besaran mutlak :  = A + B                                    (4)

Mengingat nilai dari  maka .

  merupakan kuantitas riil yang positif.

Persyaratan untuk fungsi gelombang :

1.  Karena   merupakan kebolehjadian, maka fungsi  perlu dinormalisasi agar kebolehjadian menemukan partikel di seluruh interval adalah satu.

2.  harus berharga tunggal, karena P hanya berharga tunggal pada tempat dan waktu tertentu, yaitu 1(satu).

Berdasarkan kedua persyaratan diatas, maka sudah tentu berlaku hubungan dibawah ini                                                                                             (5)

                                                       (6)

Fungsi yang memenuhi persamaan diatas dinamakan fungsi yang ternormalisasi. Pernyataan dari

ungkapan tersebut ialah probabilitas dari menemukan partikel di suatu tempat setiap saat bernilai

1(tidak mungkin 0,2, 3…dst).

Persamaan Schroedinger

Persamaan Schroedinger merupakan suatu postulat tentang gerak suatu partikel bermassa m0 dalam potensial bergantung waktu V(x,t). Di bawah ini dicantumkan persamaan itu untuk kasus 1

dimensi dengan koordinat cartesis x :

                                                   (7)

Dalam ungkapan ini mo merupakan massa partikel, x merupakan kedudukan partikel, dan t adalah waktu. Fungsi  merupakan solusi dari persamaan tersebut, yang dinamakan fungsi

gelombang Schroedinger.

Dinyatakan dalam teori mekanika kuantum, bahwa fungsi gelombang  :

“ secara sepenuhnya menggambarkan sistem fisika mikro yang dipelajari, dalam arti bahwa, semua informasi mengenai besaran fisika system itu dapat diperoleh dari   ”.

Persamaan Schroedinger merupakan suatu postulat, jadi merupakan suatu andaian dasar.

Bermanfaat atau tidaknya postulat itu bergantung dari kemampuannya dalam meramal gejala yang berkaitan dengan proses fisika tingkat atom dan sub-atom. Berikut ini contohnya (bukan bukti) :

Ambil kasus sederhana, yaitu elektron yang bergerak dalam satu dimensi dengan vector gelombang tunggal k0 dan frekuensi tunggal . Untuk kasus dengan vector gelombang tunggal seperti itu, gelombang ada diseluruh interval x, antara . Kedudukan elektron tidak tertentu, sesuai dengan ketidakpastian Heisenberg , () ()  ½ dengan () = 0.

Gerak elektron dalam ruang digambarkan oleh fungsi gelombang :

                                                           (8)

dengan   dan

Maka persamaan (8) dapat ditulis sebagai :

                                                           (9)

Menurut postulat Schoedinger informasi tentang partikel dapat diperoleh dari (x,t). Lalu bagaimanakah cara memperolehnya?

v  Lakukanlah operasi matematika  terhadap fungsi gelombang (x,t) . Hasil operasinya sebagai berikut :

                                                (10)

dengan mengoperasikan   terhadap  (x,t) diperoleh momentum linier partikel bersangkutan. Operator dinamakan operator momentum linier. Notasinya adalah , sehingga dapat dituliskan ungkapan :

                                                         (11)

Dengan                     Operator momentum linier.

v  Bagaimanakah agar dapat memperoleh nilai energi  dari fungsi gelombang   ?

Cobalah dengan menerapkan operasi matematika  terhadap fungsi gelombang tersebut.

                      (12)

Operator  merupakan operator energi, yang dinotasikan dengan  . Sehingga,

                                                        (13)

Dengan                          operator energi.

Bila operator momentum kita kuadratkan maka akan didapatkan operator matematika yang lain:

v    terapkan operator ini pada fungsi gelombang

Hasilnya adalah sebagai berikut :

        (14)

Dengan demikian   merupakan operator matematika yang menghasilkan energi kinetik partikel yang digambarkan dengan fungsi gelombang , dengan notasi  .

                Operator energi kinetik.

§  Operator untuk kedudukan adalah x itu sendiri. Notasinya adalah  . Dengan demikian operator untuk fungsi potensial V(,t) adalah V(x,t) .

x                operator kedudukan partikel.

Perhatikanlah persamaan gelombang Schroedinger di bawah ini :

                         (7)

Persamaan (7) ini dapat ditulis dengan ungkapan yang telah diperoleh pada persamaan (14) sebagai:

                                              (15)

Operator dalam ruas kiri  dapat ditulis dengan notasi operator menjadi : .

Sehingga didapat ungkapan bagi operator energi total yang dikenal sebagai operator Hamilton, yaitu:

                                                                                                (16)

§  Dengan demikian persamaan schoedinger dengan menggunakan operator-operator yang dibataskan di atas menjadi :                                (17)

Persamaan Schroedinger Bebas Waktu (PSBW)

Jika fungsi potensial tidak bergantung waktu, bagaimanakah bentuk persamaan Schroedinger untuk kasus dengan potensial bebas waktu V(x)?

Untuk kasus seperti itu persamaan gelombang Schroedinger (7) berbentuk :

                                (18)

Bila dilakukan separasi variable (pemisahan peubah) dalam solusi persamaan di atas sehingga , lalu substitusikan dalam persamaan Schroedinger bebas waktu menghasilkan

                       (19)

dan dapat ditulis pula kedalam bentuk :

                   (20)

Dari persamaan (20) di atas jelas terlihat bahwa ruas kiri dari persamaan tersebut hanya mengandung variable x, dan ruas tengah hanya mengandung variable t. Sedangkan persamaan itu berlaku untuk semua harga x maupun t.

Hal ini hanya berlaku jika ruas kiri dan ruas tengah selalu bernilai tetap, misalkan sama dengan G.

§  Dengan demikian dapat diperoleh dua persamaan berikut :

            , dan                                       (21)

                                                                                       (22)

Solusi dari persamaan (22) adalah , dengan G = E, yang merupakan energi total partikel yang direpresentasikan oleh fungsi gelombang  (x,t) . Berikut penjelasannya : Perhatikan persamaan (7) dan (14) lalu bandingkan dengan persamaan (21), maka didapat ungkapan :

            , sehingga otomatis nilai G sama besarnya dengan energi total partikel E.

§  Dengan demikian untuk kasus dengan fungsi potensial tidak bergantung waktu, diperoleh persamaan Schroedinger bebas waktu (PSBW) :

                                                    (23)

dengan fungsi gelombang total:

                                                                                  (24)

           

§  Persamaan , yang dapat ditulis sebagai  dinamakan persamaan harga eigen, dan harga tetap E yang merupakan solusi yang dikenal sebagai nama persamaan karakteristik, suatu topik penting dalam pembelajaran tentang persamaan diferensial.